ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

GRÁFICA DEL M.A.S
Una partícula posee un movimiento armónico simple a lo largo de un eje X cuando su elongación x, o coordenada de posición sobre este eje, se expresa mediante una función sinusoidal del tiempo dado.


PERÍODO Y FRECUENCIA DEL M.A.S

El período T del M.A.S  es independiente de la amplitud y su fórmula es:

T= período       ;       f= frecuencia         ;  w= velocidad angular

Frecuencia

La frecuencia mide la cantidad de vueltas que se dan en un período de tiempo (normalmente un segundo). Se calcula con la siguiente fórmula:



La unidad más utilizada es el hertz que equivale a una vuelta en un segundo.

Período

El período mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa y se mide en segundos. Es la inversa de la frecuencia.


T = Período [s]
f = Frecuencia [Hz]

De esta forma, la frecuencia se puede calcular como la inversa del período.


f = Frecuencia [Hz]
T = Período [s]

Posición

La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple ( m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t).

Ecuación de posición

	x → Seno	x → Coseno
Con ω	x=A⋅sin(ω⋅t+φ0)	x=A⋅cos(ω⋅t+φ'0)
Con f	x=A⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	x=A⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	x=A⋅sin(2⋅πT⋅t+φ0)	x=A⋅cos(2⋅πT⋅t+φ'0)

Donde:

• A: Amplitud máxima del movimiento. Representa la distancia máxima a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)
• f: Frecuencia del movimiento. Es el número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s-1.
• T: Periodo del movimiento. El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).
• ω : Frecuencia angular o pulsación. Representa el número de periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián por segundo ( rad/s ). Se encuentra relacionada con la frecuencia y el periodo del movimiento según ω=2⋅πT=2⋅π⋅f  
• φ0  y φ'0 : Fase inicial. Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la posición x del cuerpo en el instante t = 0. Su valor depende de si has elegido un seno o un coseno para representar el movimiento. φ'0=φ0−π/2 Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad) .

Para cualquier instante t se cumple que x(t)=x(t+T) .

Gráfica de posición x - t

Velocidad

La velocidad instantánea determina la variación de posición que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo.

v=dxdt

Para obtener la expresión de la velocidad hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• v=ddt(A⋅sin(ω⋅t+φ0))=A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0)
• v=ddt(A⋅cos(ω⋅t+φ'0))=−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0)

Ecuación de velocidad

	Velocidad  (cuando x → Seno )	Velocidad (cuando x → Coseno )
Con ω	v=A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0)	v=−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0)
Con f	v=A⋅2⋅π⋅f⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	v=−A⋅2⋅π⋅f⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	v=A⋅2⋅πT⋅cos(2⋅πT⋅t+φ0)	v=−A⋅2⋅πT⋅sin(2⋅πT⋅t+φ'0)

Para cualquier instante t se cumple que v(t)=v(t+T) .

Gráfica de velocidad v - t

Aceleración

La aceleración instantánea determina la variación de velocidad que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

a=dvdt

Para obtener la expresión de la aceleración hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno:

• a=d2dt2(A⋅sin(ω⋅t+φ0))=ddt(A⋅ω⋅cos(ω⋅t+φ0))=−A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+φ0)
• a=d2dt2(A⋅cos(ω⋅t+φ'0))=ddt(−A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0))=−A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ'0)

Ecuación de aceleración

	Aceleración (cuando x → Seno )	Aceleración (cuando x → Coseno )
Con ω	a=−A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+φ0)	a=−A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ'0)
Con f	a=−A⋅(2⋅π⋅f)2⋅sin(2⋅π⋅f⋅t+φ0)	a=−A⋅(2⋅π⋅f)2⋅cos(2⋅π⋅f⋅t+φ'0)
Con T	a=−A⋅(2⋅πT)2⋅sin(2⋅πT⋅t+φ0)	a=−A⋅(2⋅πT)2⋅cos(2⋅πT⋅t+φ'0)

Para cualquier instante t se cumple que a(t)=a(t+T) .

Gráfica de aceleración a - t